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1.有了Fourier，為什么還需要Wavelet?

先來(lái)揭揭短：

(1)Fourier分析不能刻畫(huà)時(shí)間域上信號(hào)的局部特性。

(2)Fourier分析對(duì)突變和非平穩(wěn)信號(hào)的效果不好，沒(méi)有時(shí)頻分析。

傅立葉變換將函數(shù)投影到正弦波上，將函數(shù)分解成了不同頻率的正弦波，這不能不說(shuō)是一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)，但是在大量的應(yīng)用中，傅立葉變換的局限性卻日趨明顯，事實(shí)上在光滑平穩(wěn)信號(hào)的表示中，傅立葉基已經(jīng)達(dá)到了近似最優(yōu)表示，但是日常生活中的信號(hào)卻并不是一直光滑的，而且奇異是平凡的，傅立葉在奇異點(diǎn)的表現(xiàn)就著實(shí)讓人不爽，從方波的傅立葉逼近就可以看出來(lái)，用了大量不同頻率的三角波去逼近其系數(shù)衰減程度相當(dāng)緩慢，而且會(huì)產(chǎn)生Gibbs效應(yīng)。其內(nèi)在的原因是其基為全局性基，沒(méi)有局部?jī)?yōu)化能力，以至局部一個(gè)小小的擺動(dòng)也會(huì)影響全局的系數(shù)。實(shí)際應(yīng)用中很需要時(shí)頻局部化，傅立葉顯然缺乏此能力了。即使如此，由于其鮮明的物理意義和快速計(jì)算，在很多場(chǎng)合仍然應(yīng)用廣泛。傅立葉變換在從連續(xù)到離散的情形是值得借鑒與學(xué)習(xí)的，大家都知道，時(shí)間周期對(duì)應(yīng)頻域離散，時(shí)間離散對(duì)應(yīng)頻域周期，時(shí)間離散周期對(duì)應(yīng)頻域離散周期，DFT其實(shí)是將離散信號(hào)做周期延拓然后做傅立葉變換再截取一個(gè)周期，反變換同樣如此，所以DFT用的是塊基的概念，這樣如果信號(hào)兩端的信號(hào)連接后不再光滑(即使兩邊都光滑)，同樣會(huì)在邊界上產(chǎn)生大幅值系數(shù)(邊界效應(yīng))，延伸到圖像中就是塊效應(yīng)。當(dāng)對(duì)信號(hào)做對(duì)稱周期延拓后再做傅立葉變換得到的正弦系數(shù)全部為0，也就是任何對(duì)稱函數(shù)可以寫(xiě)成余弦的線性組合，同樣按照離散的思路構(gòu)造得到的是離散塊余弦基，即DCT變換，雖然DCT可以通過(guò)對(duì)稱后周期延拓再變換減少了邊界效應(yīng)(兩邊信號(hào)接上了，但不一定平滑)，但也不能消除塊效應(yīng)，尤其是圖像變換中人為將圖像分成8*8處理后塊效應(yīng)更加明顯。但是DCT很好的能量聚集效應(yīng)讓人驚奇，加之快速計(jì)算方法使它替代DFT成為圖像的壓縮的標(biāo)準(zhǔn)了很長(zhǎng)時(shí)間(JPEG)。

閑扯了這么多，不要迷糊，開(kāi)始上圖：

第一個(gè)就是傅立葉變換是整個(gè)時(shí)域，所以沒(méi)有局部特征。這是由基函數(shù)決定的，同時(shí)如果在時(shí)域發(fā)生突變，那么在頻域就需要大量的正弦波去擬合，這也是傅立葉變換性質(zhì)決定的。

第二個(gè)就是面對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)，傅立葉變換可以看到由哪些頻率組成，但不知道各成分對(duì)應(yīng)的時(shí)刻是什么。也就是沒(méi)有時(shí)頻分析，看不出來(lái)信號(hào)頻域隨著時(shí)間變換的情況，反過(guò)來(lái)說(shuō)就是，一個(gè)的頻圖對(duì)應(yīng)好幾個(gè)時(shí)域圖，不知道是哪個(gè)，這個(gè)在實(shí)際應(yīng)用中就不方便了，如圖：

如上圖，最上邊的是頻率始終不變的平穩(wěn)信號(hào)。而下邊兩個(gè)則是頻率隨著時(shí)間改變的非平穩(wěn)信號(hào)，它們同樣包含和最上信號(hào)相同頻率的四個(gè)成分。做FFT后，我們發(fā)現(xiàn)這三個(gè)時(shí)域上有巨大差異的信號(hào)，頻譜(幅值譜)卻非常一致。尤其是下邊兩個(gè)非平穩(wěn)信號(hào)，我們從頻譜上無(wú)法區(qū)分它們，因?yàn)樗鼈儼乃膫€(gè)頻率的信號(hào)的成分確實(shí)是一樣的，只是出現(xiàn)的先后順序不同(時(shí)間分辨性太差)。

可見(jiàn)，傅里葉變換處理非平穩(wěn)信號(hào)有天生缺陷。它只能獲取一段信號(hào)總體上包含哪些頻率的成分，但是對(duì)各成分出現(xiàn)的時(shí)刻并無(wú)所知。因此時(shí)域相差很大的兩個(gè)信號(hào)，可能頻譜圖一樣。

然而平穩(wěn)信號(hào)大多是人為制造出來(lái)的，自然界的大量信號(hào)幾乎都是非平穩(wěn)的，所以在比如生物醫(yī)學(xué)信號(hào)分析等領(lǐng)域的論文中，基本看不到單純傅里葉變換這樣naive的方法。

上圖所示的是一個(gè)正常人的心電相關(guān)電位。對(duì)于這樣的非平穩(wěn)信號(hào)，只知道包含哪些頻率成分是不夠的，我們還想知道各個(gè)成分出現(xiàn)的時(shí)間。知道信號(hào)頻率隨時(shí)間變化的情況，各個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)頻率及其幅值——時(shí)頻聯(lián)合分析

2.預(yù)備知識(shí)：何為基?何為內(nèi)積?

2.1 基

傅立葉變換和小波變換，都會(huì)聽(tīng)到分解和重構(gòu)，其中這個(gè)就是根本，因?yàn)樗麄兊淖兓际菍⑿盘?hào)看成由若干個(gè)東西組成的，而且這些東西能夠處理還原成比原來(lái)更好的信號(hào)。那怎么分解呢?那就需要一個(gè)分解的量，也就是常說(shuō)的基，基的了解可以類(lèi)比向量，向量空間的一個(gè)向量可以分解在x，y方向，同時(shí)在各個(gè)方向定義單位向量e1、e2，這樣任意一個(gè)向量都可以表示為a=xe1+ye2，這個(gè)是二維空間的基：

而FT的基是不同頻率的正弦曲線(整個(gè)時(shí)間)，所以FT是把信號(hào)波分解成不同頻率的正弦波的疊加和：而對(duì)于小波變換就是把一個(gè)信號(hào)分解成一系列的小波(短時(shí)間)，也許就會(huì)問(wèn)，小波變換的小波是什么啊，定義中就是告訴我們小波，因?yàn)檫@個(gè)小波實(shí)在是太多，一個(gè)是種類(lèi)多，還有就是同一種小波還可以尺度變換，但是小波在整個(gè)時(shí)間范圍的幅度平均值是0，具有有限的持續(xù)時(shí)間和突變的頻率和振幅，可以是不規(guī)則，也可以是不對(duì)稱,很明顯正弦波就不是小波，什么的是呢，看下面幾個(gè)圖就是：

有了基，有什么用呢?下面看一個(gè)傅立葉變換的實(shí)例：

對(duì)于一個(gè)信號(hào)的表達(dá)式為x=sin(2*pi*t)+0.5*sin(2*pi*5*t); 下面看圖形表示，感受一下頻域變換給人的一目了然：

基具有非冗余性，即使基不是正交的，有相關(guān)性，但若去掉其中任何一個(gè)，則不成為基，這一點(diǎn)也叫完備性;基的表示有唯一性，即給定一族基對(duì)一個(gè)函數(shù)的表達(dá)是唯一的;一般情況下基非正交，也稱為為exact frame(Resize basis)，這個(gè)時(shí)候要表示信號(hào)可以將基正交化成唯一的正交基(對(duì)偶為其自身);也可以求其對(duì)偶框架(dual frame)，其對(duì)應(yīng)了小波變換中的雙正交情形!信號(hào)可以依框架分解，然后用對(duì)偶框架重構(gòu)。若在基集里添加一些新的向量，并隨意調(diào)整空間位置，則有可能成為框架。把函數(shù)與基或框架作內(nèi)積，也可以說(shuō)成是一種函數(shù)空間到系數(shù)空間的變換。若某種變換后的能量(內(nèi)積的平方和度量)仍然有一個(gè)大于0的上下界，才可以成為框架，由于框架的冗余性，所以系數(shù)的表達(dá)也不具有唯一性。若上下界相等，則為緊框架，且界表示冗余度。若上下界相等為且為1，稱為pasval identity frame，此時(shí)不一定為正交基，此時(shí)若加上基的長(zhǎng)度均為一的條件，則框架退化為正交基?？赡苣銜?huì)問(wèn)我們用基來(lái)表示信號(hào)就行了啊，為什么還要框架呢?其實(shí)很多信號(hào)表示方法不能構(gòu)成基，卻能構(gòu)成框架，如短時(shí)傅立葉變換中如要求窗函數(shù)滿足基條件，則可推出該函數(shù)有很差的時(shí)頻局部化性質(zhì)(事實(shí)上退化為了傅立葉變換)

2.2 內(nèi)積

如果兩個(gè)向量的內(nèi)積為0 ，就說(shuō)他們是正交的。

如果一個(gè)向量序列相互對(duì)偶正交，并且長(zhǎng)度都為1，那么就說(shuō)他們是正交歸一化的。

3.小波誕生的前一個(gè)晚上：短時(shí)傅里葉變換(STFT)

有了缺點(diǎn)當(dāng)然就想著改進(jìn)了，這就出來(lái)了短時(shí)傅立葉變換，也叫加窗傅立葉變換，顧名思義，就是因?yàn)楦盗⑷~變換的時(shí)域太長(zhǎng)了，所以要弄短一點(diǎn)，這樣就有了局部性。

定義：把整個(gè)時(shí)域過(guò)程分解成無(wú)數(shù)個(gè)等長(zhǎng)的小過(guò)程，每個(gè)小過(guò)程近似平穩(wěn)，再傅里葉變換，就知道在哪個(gè)時(shí)間點(diǎn)上出現(xiàn)了什么頻率了。”這就是短時(shí)傅里葉變換。下面就是示意圖

時(shí)域上分成一段一段做FFT，不就知道頻率成分隨著時(shí)間的變化情況了嗎!

可能理解這一點(diǎn)最好的方式是舉例子。首先，因?yàn)槲覀兊淖儞Q是對(duì)時(shí)間和頻率的函數(shù)(不像傅立葉變換，僅僅是對(duì)頻率的函數(shù))，它是二維的(如果加上幅度則是三維)。以下圖所示的非平穩(wěn)信號(hào)為例：

在這個(gè)信號(hào)中，在不同時(shí)刻有四個(gè)頻率分量。0-250ms內(nèi)信號(hào)的頻率為100Hz，其余每個(gè)250ms的間隔的信號(hào)頻率分別為50Hz，25Hz和10Hz。很明顯，這是一個(gè)非平穩(wěn)信號(hào)，讓我們看一看它的短時(shí)傅立葉變換：用這樣的方法，可以得到一個(gè)信號(hào)的時(shí)頻圖了：

既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四個(gè)頻域成分，還能看到出現(xiàn)的時(shí)間。兩排峰是對(duì)稱的，只用看一排就行。這貌似解決了問(wèn)題，好像有了加窗技術(shù)，整個(gè)世界都亮了。沒(méi)有那么簡(jiǎn)單的，面對(duì)一個(gè)隨機(jī)的非平穩(wěn)信號(hào)，那么這個(gè)窗要多大了呢?(此時(shí)加窗傅里葉變換一臉的懵逼)

窗太窄，窗內(nèi)的信號(hào)太短，會(huì)導(dǎo)致頻率分析不夠精準(zhǔn)，頻率分辨率差。

窗太寬，時(shí)域上又不夠精細(xì)，時(shí)間分辨率低。

下面通過(guò)一組實(shí)驗(yàn)，我們深入探索這種加窗技術(shù)，問(wèn)題出現(xiàn)在哪里?

上圖對(duì)同一個(gè)信號(hào)(4個(gè)頻率成分)采用不同寬度的窗做STFT，結(jié)果如右圖。用窄窗，時(shí)頻圖在時(shí)間軸上分辨率很高，幾個(gè)峰基本成矩形，而用寬窗則變成了綿延的矮山。但是頻率軸上，窄窗明顯不如下邊兩個(gè)寬窗精確。所以窄窗口時(shí)間分辨率高、頻率分辨率低，寬窗口時(shí)間分辨率低、頻率分辨率高。對(duì)于時(shí)變的非穩(wěn)態(tài)信號(hào)，高頻適合小窗口，低頻適合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中寬度不會(huì)變化，所以STFT還是無(wú)法滿足非穩(wěn)態(tài)信號(hào)變化的頻率的需求。

4.小波來(lái)了

時(shí)勢(shì)造英雄，小波開(kāi)始一展拳腳了!

對(duì)于加窗傅立葉變換讓人頭疼的就是窗口的大小問(wèn)題，如果我們讓窗口的大小可以改變，不就完美了嗎?答案是肯定的，小波就是基于這個(gè)思路，但是不同的是。STFT是給信號(hào)加窗，分段做FFT;而小波變換并沒(méi)有采用窗的思想，更沒(méi)有做傅里葉變換。小波直接把傅里葉變換的基給換了——將無(wú)限長(zhǎng)的三角函數(shù)基換成了有限長(zhǎng)的會(huì)衰減的小波基。這樣不僅能夠獲取頻率，還可以定位到時(shí)間了~

就又回到了最開(kāi)始的基了。

小波變換采用的這些基函數(shù)會(huì)伸縮、會(huì)平移(其實(shí)是兩個(gè)正交基的分解)。縮得窄，對(duì)應(yīng)高頻;伸得寬，對(duì)應(yīng)低頻。然后這個(gè)基函數(shù)不斷和信號(hào)做相乘。某一個(gè)尺度(寬窄)下乘出來(lái)的結(jié)果，就可以理解成信號(hào)所包含的當(dāng)前尺度對(duì)應(yīng)頻率成分有多少。于是，基函數(shù)會(huì)在某些尺度下，與信號(hào)相乘得到一個(gè)很大的值，因?yàn)榇藭r(shí)二者有一種重合關(guān)系。那么我們就知道信號(hào)包含該頻率的成分的多少。如前文所述，小波做的改變就在于，將無(wú)限長(zhǎng)的正弦函數(shù)基換成了有限長(zhǎng)的會(huì)衰減的小波基。效果如下圖：

從公式可以看出，不同于傅里葉變換，變量只有頻率ω，小波變換有兩個(gè)變量：尺度a(scale)和平移量 τ(translation)。尺度a控制小波函數(shù)的伸縮，平移量 τ控制小波函數(shù)的平移。尺度就對(duì)應(yīng)于頻率(反比)，平移量 τ就對(duì)應(yīng)于時(shí)間。如下圖

當(dāng)伸縮、平移到這么一種重合情況時(shí)，也會(huì)相乘得到一個(gè)大的值。這時(shí)候和傅里葉變換不同的是，這不僅可以知道信號(hào)有這樣頻率的成分，而且知道它在時(shí)域上存在的具體位置。而當(dāng)我們?cè)诿總€(gè)尺度下都平移著和信號(hào)乘過(guò)一遍后，我們就知道信號(hào)在每個(gè)位置都包含哪些頻率成分?？吹搅藛?有了小波，我們從此再也不害怕非穩(wěn)定信號(hào)啦!從此可以做時(shí)頻分析啦!

3.1解決了局部性

3.2解決時(shí)頻分析

時(shí)域信號(hào) FFT變換 小波分析

有了這些，小波分析也就入門(mén)了。

感謝大連理工大學(xué)機(jī)械工程碩士小木匠的出色工作。

感謝杜克大學(xué)方圓之中對(duì)STFT的現(xiàn)狀所做的科普工作。

關(guān)鍵詞： 小波 Fourier